Bonjour, Je ne comprend pas pouvez vous m’aidez s’il vous plaît, je n’est pas de cours déçus...

Réponse :

Explications étape par étape

■ Tu es déçu de ne pas avoir de cours ? ☺

1°) f(z) = z donne 2z = z + iz* donc z = iz*

                                               a + ib = ia + b

                                           d' où b = a .

   l' ensemble (D) est donc bien une droite d' équation y = x

                         ( il s' agit de la première bissectrice ! )

2°) le numérateur f(z) - z = 0,5z + 0,5iz* - z = 0,5iz* - 0,5z

    le dénominateur = (1-i)

     donc on a (0,5iz* - 0,5z) (1+i) / 2

                    = (0,5iz* - 0,5z* -0,5z - 0,5iz) / 2

          = (0,5ia + 0,5b - 0,5a + 0,5ib - 0,5a - 0,5ib - 0,5ia + 0,5b)/2

          = ( b - a ) / 2 qui est bien un réel pur !

3°) a' + ib' = 0,5a + 0,5ib + 0,5ia + 0,5b = 0,5(a+b) + 0,5i(a+b) .

    prenons z = 2+4i --> z' = 3+3i

    le point M' d' affixe z' est en fait la projection du point M

                                   d' affixe z sur la première bissectrice !

4°) f(f(z)) = f(z) est évident puisque la projection étant réalisée

    sur la droite des invariants ( la première bissectrice ici ),

    on obtient un point qui se projettera sur lui-même !

5°) M a pour affixe z = a +ib ; M appartient à la droite (Δ)

                                                         d' équation y  = -x + a+b .

    M' étant la projection de M sur la droite (D), on a bien M'

    intersection des droites d' équations y = -x + a+b et y = x

    --> 2x = a+b --> x = (a+b)/2 .

   conclusion :

   les coordonnées du point M' sont donc ( (a+b)/2 ; (a+b)/2 )