Bonjour, je cherche à démontrer cette relation. Je voulais faire par récurrence mais je n'y arrive pas, du coup je ne sais pas si c'est qu'il faut faire autreme

Bonjour,

N'ayant pas reçu le cours, je vais tenter d'y répondre.

Cette série s'appelle "alternating factorials" https://oeis.org/A058006

1)

On va démontrer que

[tex]\sum_{i=1}^{n}i! < (n+1)!\\\\a) Vrai\ pour\ n=1\ car\ 1! < 2!\ (1 < 2)\\b) Vrai\ pour\ n\ \Longrightarrow\ vrai\ pour\ n+1\\\\1!+2!+!3!+...+n! < (n+1)!\\\\\Longrightarrow\ 1!+2!+!3!+...+n! +(n+1)! <(n+1)! + (n+1)!=2*(n+1)! < (n+2)! \\\\car\ 2\ <\ n+2\\\\[/tex]

[tex]\Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n-1}i! < n!\\\\\Longrightarrow\ -\sum_{i=1}^{n-1}i! > - n!\\\\-n! < -\sum_{i=1}^{n-1}i! <\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i *i! < \sum_{i=1}^{n-1}i! < n!\\[/tex]