Je suis foutue. D'ailleurs, si vous m'aidez, merci de détailler vos calculs pour que je comprenne ce que vous avez fait.

Bonjour,

1)
a)La fonction f est définie pour tout nombre compris entre 0 et 16 inclus car une longueur est toujours positive (et x est la longueur BC) et il faut respecter l'inégalité triangulaire : en effet, pour qu'on ait BC ≤ BA+AC, il faut avoir x ≤ 16.

b)Il faut, à chaque fois, calculer la longueur AH et en déduire l'aire du triangle ABC.
Comme le triangle ABC est isocèle en A, le point H est le milieu de [BC].
On a donc BH = x/2.
Le triangle ABH est rectangle en H. On se sert donc du théorème de Pythagore pour calculer la longueur AH :
[tex]AB^2 = BH^2+AH^2\\ AH^2 = AB^2 - BH^2\\ AH^2 = 8^2-\left(\frac x2\right)^2\\ AH^2 = 64 - \frac{x^2}{4}\\ AH = \sqrt{64-\frac{x^2}{4}}[/tex]
On multiplie ensuite cette longueur par BC et on divise par 2 pour obtenir l'aire, soit :
[tex]f\left(x\right) = \frac x2 \sqrt{64-\frac{x^2}{4}}[/tex]

On calcule donc :
[tex]f\left(4\right) = \frac 42 \sqrt{64-\frac{4^2}{4}}\\ f\left(4\right) = 2 \sqrt{ 64-4} = 2\sqrt{60} = 2\sqrt{15\times 4} = 4\sqrt{15}[/tex]
[tex]f\left(8\right) = \frac 82 \sqrt{64-\frac{8^2}{4}} = 4\sqrt{48} = 4\sqrt{3\times 16} = 16\sqrt 3[/tex]

2)
a)On a l'expression :
[tex]f\left(x\right) = \frac x2 \sqrt{64-\frac{x^2}{4}\right)\\ f\left(x\right) = \frac x2 \sqrt{\frac 14 \left(256-x^2\right)}\\ f\left(x\right) = \frac x4 \sqrt{256-x^2}\\[/tex]

c)Sur mon graphique, je trouve que le maximum (le plus haut point de la courbe) est atteint pour x ≈11,43.

3)
a)L'aire du triangle ABC est donnée par la formule :
 [tex]\frac{base \times hauteur}{2}[/tex]
Soit :
[tex]\frac{AC\times BI}{2} = \frac{8\times BI}{2} = 4\times BI[/tex]

b)BI est maximale quand BI = BA, quand le triangle ABC est rectangle en A.

c)Le triangle BAC est donc rectangle et isocèle en A et on peut calculer la longueur BC avec le théorème de Pythagore :
[tex]BC^2 = AB^2+AC^2 = 2\times 8^2\\ BC = \sqrt{2\times 8^2} = 8\sqrt 2[/tex]

D'où :
[tex]x_0 = 8\sqrt 2[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)