Bonsoir, je suis en TS, j'ai un DM à faire pour lundi, je suis bloqué à la question B2, quelqu'un peut m'aider svp ? merci

Bonjour,

Soit f une fonction définie, dérivable et strictement positive sur R telle que f(0)=1 et dont la dérivée f' est strictement positive. Soit C la courbe représentative de la fonction f. Soit a un réel quelconque, Ma le point de C d'abscisse a et Na le projeté orthogonal de Ma sur l'axe des abscisses. Soit Ta la tangente en Ma à la courbe C, Ta coupe l'axe des abscisses en Sa. La sous tangente NaSa est constante égal à 1

1) Déterminer les coordonnées de Na et Sa en fonction de a

[tex]M_a[/tex] a pour coordonnées (a, f(a))

[tex]N_a[/tex] a pour coordonnées (a, 0)

[tex]T_a[/tex] a pour équation y = f'(a)(x-a) + f(a)

Cette tangente coupe l'axe des abscisses en [tex]S_a[/tex] tel que f'(a)(x-a) + f(a) = 0

La dérivée de f est strictement positive donc [tex]x-a=-\frac{f(a)}{f'(a)} \Longrightarrow x=a-\frac{f(a)}{f'(a)}[/tex]

Ainsi, [tex]S_a[/tex] a pour coordonnées [tex]\left(a-\frac{f(a)}{f'(a)},0\right)[/tex]

2) Montrer que la seule fonction possible est la fonction exponentielle

[tex]x_N-x_S=a-\left(a-\frac{f(a)}{f'(a)}\right)=\frac{f(a)}{f'(a)}[/tex]

La sous tangente est constante égale à 1 donc f(a)/f'(a) = 1

Pour tout nombre réel [tex]a[/tex] nous avons que f'(a) = f(a)

Donc pour tout nombre réel [tex]x[/tex] nous avons [tex]f(x)=ke^x[/tex]

[tex]f(0)=1 \Longrightarrow k=1[/tex]

La seule fonction possible est donc l'exponentielle.