Exercice de maths 1ere S Bonsoir à tous, Merci de bien vouloir m’aider à résoudre cette question : Démontrer que pour tout réel a, on a : cos5a = 16cos^5 a - 20

Réponse :

cos5a = 5cosa - 20cos³a + 16 cos^5(a)

Explications étape par étape :

d' après Moivre :

cos5a = 5cosa - 20cos³a + 16 cos^5(a)

démonstration :

cos5a = partie réelle de (cosa + i*sina)^5

          = cos^5(a) - 10cos³a sin²a + 5cosa sin^4(a)

          = cos^5(a) - 10cos³a ( 1 - cos²a ) + 5cosa (1-cos²a)²

          = cos^5(a) - 10cos³a + 10cos^5(a) + 5cosa (1-2cos²a+cos^4(a))

          = 11cos^5(a) - 10cos³a + 5cosa - 10cos³a + 5cos^5(a)

          = 16cos^5(a) - 20cos³a + 5cosa

■ conseil : se rappeler des coefficients du Triangle de Pascal ! ♥

■ résolvons : 3,2 cos^5(a) - 4cos³a + cosa = 0

  il suffit de résoudre cos5a = 0 --> 5a = π/2 + kπ

                                                     -->  a  = π/10 + 0,2kπ

                                                   ( --> a = 18° + 36k )

  vérif avec a = 126° --> cos630° = 0