Bonjour, j'ai cet exercice a faire pour mercredi. Et je bloque sur les questions. On considère un triangle ABC et on appelle A' B' C' les milieux respectifs des
Question
On considère un triangle ABC et on appelle A' B' C' les milieux respectifs des segments (BC) (AC) (AB). Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le point H est l'orthocentre du triangle ABC. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.
1) Réaliser une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
Construire les vecteurs OH et OG. (Ça j'ai réussi)
Conjecturer un lien entre ces vecteurs (on déplacera les points A,B et C pour confirmer le conjecture)
2) a : Soit M le point défini par vecteur OM = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
En utilisant la relation de Chasles démontrer que vecteur AM = 2vecteur OA'. En déduire que le point M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A. Démontrer que les points M et H sont confondus.
b: Démontrer que OA +OB + OC = 3OG + (GA+GB+GC) (ce sont tous des vecteurs.) puis que OA + OB + OC = 3OG. (je pensait monter la colinéarité des vecteurs mais j'ai un gros doute car j'ai essayé et ça ne donne rien)
c: démontrer alors la conjecture émise à la question 1. (démontrer ?)
Merci a tous ceux qui pourront m'aider !
1 Réponse
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1. Réponse jpmorin3
1) la conjecture : H, G et O sont alignés avec HG = 2GO
2)
a) je n'écris pas le mot vecteur, il est sous-entendu.
OM = OA + OB + OC
OM - OA = OB + OC ; AO + OM = OB + OC ; AM = OB + OC
A' est le milieu de [BC] OB + OC = 2OA'
On a AM = 2OA'
les vecteurs AM et OA' sont colinéaires, les droites (AM) et (OA') sont parallèles.
(OA') est la médiatrice de (BC] donc perpendiculaire à (BC)
La droite (AM) parallèle à la droite (OA') est perpendiculaire à (BC)
C'est la hauteur relative au côté [BC].
Le point M est sur cette hauteur.
en remplaçant A par B on montre de la même manière que M est sur la hauteur relative au côté [AC]
M se trouve sur 2 hauteurs du triangle, c'est l'orthocentre H
OH = OA + OB + OC
b)
OA +OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC =
3OG + (GA + GB + GC)
GA + GB + GC = GA + (GB + GC) = GA + 2GA' (A' milieu [BC])
G se trouve sur chaque médiane à 1/3 à partir de la base
GA = -2GA' d'où GA + 2 GA' = -2GA' + 2GA' = vecteur nul
GA + GB + GC = 0
OA + OB + OC = 3OG
c) résultats du a) et du b)
OH = OA + OB + OC et OA + OB + OC = 3OG
on en déduit que OH = 3OG
les points O, G, et H sont alignés (cette droite est appelée droite d'Euler)
G est entre O et H, deux fois plus loin de H que de O.