Bonsoir à tous svp est ce que quelqu'un peut m'aider sur cette exercice svp . C'est sur la dérivation.

Bonsoir

1. L'équation de la tangente à une courbe en un point d'abscisse A est donnée par la formule

y = f(a) +f'(a)×(x-a)  

Pour x= -1

y = f(-1) +f'(-1)×( x+1)

On commence par chercher la dérivée de la fonction f

f' (x) = 3x² /3  + 2x/2 -2

f'(x) = x² + x -2

On doit ensuite calculer f(-1) et f' (-1)

f(-1)= (-1)³/3 + (-1)²/2 -2×(-1) +1

 = -1/3 +1/2 +2 +1

= -2/6 +3/6 +12/6 +6/6

f(-1)= 19/6

Calculons ensuite f'(-1)

f'(-1) =(-1)²+(-1) -2

      = 1 -3

f'(-1) = -2

L'équation de la tangente T au point d'abscisse -1 est

y  = 19/6 -2( x+1)

y  = -2x -2 +19/6

y= -2x +( 19-12)/6

y = -2x +7/6

2. Trouver les coordonnées des points qui admettent des tangentes horizontales ( cad parallèles à l'axe des abscisses)

Ces points seront des extremums (points où la dérivée s'annule)

f' (x) = x² +x -2

Cherchons les abscisses des points où f'(x) = 0

0 = ( x+1/2)² -1/4 -2→( équation que l'on transforme en équation produit =0)

0 = ( x+1/2)² -1/4-8/4

0 = ( x+1/2) -9/4→    9/4 =( 3/2)²  on a affaire à un produit remarquable a²-b²

0 = ( x+1/2 +3/2) ( x+1/2 -3/2)

0= ( x +4/2)( x-2/2)

0 = ( x+2) (x-1)

Deux solutions

x = -2 et x= 1

On calcule maintenant l'ordonnée de ces points

Si x= -2

f(-2) =(-2)³/3 + (-2)²/2 -2×(-2) +1

f(-2) = -8/3 -2 +4 +1

f(-2) = (-8 +9)/3

f(-2) = 1/3

A ( -2;  1/3)

Si x=1

f(1) = 1/3 +1/2 -2 +1=5/6 -1= 5/6-6/6 = -1/6

B ( 1; -1/6)

3. Coordonnées de C qui admet une tangente parallèle à T

la parallèle à la tangente T aura le même coefficient directeur qu'elle

cad -2  

cette équation sera y = -2x +b

f' ( xC) = -2

-2 = x² +x -2

0 = x² +x

0= x( x+1)

Deux solutions x = 0 et x = -1

Pour x= -1  on a la tangente T

pour x= 0 et y = 1  on a le point

C ( 0; -1) dont la tangente est parallèle à T