[proba et suite de proba] Pourriez vous m'aider à cet exercice d'un DM pour vendredi svp j'ai beau essayer je ne comprends rien à ce chapitre... Merci d'avance

Bonsoir,

Les schémas sont en pièces jointes.

Partie A.

[tex]1)\ P(F_1)=0,4[/tex]

[tex]2)\ P(F_2)=0,2\times0,4+0,4\times0,6=0,32\\\\P(F_3)=0,2\times0,2\times0,4+0,4\times0,8\times0,4\\+0,2\times0,4\times0,6+0,4\times0,6\times0,6\\\\=0,336[/tex]

[tex]3)\ p_{n+1}=P(F_{n+1})\\\\=P_{F_n}(F_{n+1}).P(F_n)+P_{\bar{F_n}}(F_{n+1})P(\bar{F_n)}\\\\=P_{F_n}(F_{n+1}).p_n+P_{\bar{F_n}}(F_{n+1})(1-p_n)\\\\=0,2p_n+0,4(1-p_n)\\\\=0,2p_n+0,4-0,4p_n\\\\=-0,2p_n+0,4[/tex]

Partie B

1) a) On sait que  [tex]0\le p_n\le0,4[/tex].
Montrons que   [tex]0\le p_{n+1}\le0,4[/tex].

[tex]p_n\ge0\Longrightarrow -0,2p_n\le0\Longrightarrow 0,4-0,2p_n\le0,4\Longrightarrow p_{n+1}\le0,4[/tex]

[tex]p_n\le0,4\Longrightarrow-0.2p_n\ge-0,08\Longrightarrow 0,4-0.2p_n\ge0,4-0,08\\\\\Longrightarrow 0,4-0.2p_n\ge0,32\ge0\\\\\Longrightarrow 0,4-0.2p_n\ge0\\\\\Longrightarrow p_{n+1}\ge0[/tex]

Par conséquent    [tex]0\le p_{n+1}\le0,4[/tex].

b) P(1) est évidemment vraie puisque [tex]p_1=0[/tex]

On en déduit que la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

2) a) [tex]u_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{1}{3}\\\\=-0,2p_{n}+0,4-\dfrac{1}{3}\\\\=-0,2p_{n}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{3}\\\\=-0,2p_{n}-\dfrac{1}{15}\\\\=-0,2p_{n}-\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{3}\\\\=-0,2p_{n}-0,2\times\dfrac{1}{3}\\\\=-0,2(p_{n}-\dfrac{1}{3})\\\\=-0,2u_n[/tex]

Donc la suite (un) est une suite géométrique de raison -0,2.

Le premier terme est  [tex]u_1=p_1-\dfrac{1}{3}\\\\u_1=0-\dfrac{1}{3}\\\\u_1=-\dfrac{1}{3}[/tex]

b)  [tex]u_n=u_1\times(-0,2)^{n-1}\\\\u_n=-\dfrac{1}{3}\times(-0,2)^{n-1}\\\\p_n=u_n+\dfrac{1}{3}\\\\p_n=-\dfrac{1}{3}\times(-0,2)^{n-1}+\dfrac{1}{3}[/tex]


c) On sait que   [tex]\lim_{n\to+\infty}(-0,2)^{n-1}=0[/tex]

Par conséquent  

[tex]\lim_{n\to+\infty}p_n=\lim_{n\to+\infty}[-\dfrac{1}{3}\times(-0,2)^{n-1}+\dfrac{1}{3}]\\\\\lim_{n\to+\infty}p_n=0+\dfrac{1}{3}\\\\\lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{1}{3}[/tex]

Nous pouvons conclure que selon ce schéma, à long terme, le fumeur aura tendance à fumer un jour sur trois.