Bonjour pouvez vous m'aider svp je bloque 1. Soit la fonction f définie sur R par : [tex]f(x) = x^{4} - 4x -1[/tex] a. Etudier les limites de f aux infinis b. E
Question
1. Soit la fonction f définie sur R par :
[tex]f(x) = x^{4} - 4x -1[/tex]
a. Etudier les limites de f aux infinis
b. Etudier les variations de f et dresser le tableau de variations complet
c. Montrer que l'équation [tex]f(x) = 0[/tex] admet deux solutions α et β sur R. Vérifier que β ∈ [tex][\frac{3}{2} ; 2][/tex]
2. β désigne toujours la solution dans [tex][\frac{3}{2} ; 2 ][/tex] de l'équation [tex]f(x) = 0[/tex]
a. Soit g([tex]g(x) = \frac{2x+1}{x^{2}\sqrt{4x+1} }[/tex]. Montrer que β est solution de l'équation [tex]g(x)= x[/tex]
b. Déduire de tout ce qui précède [tex]\frac{3}{2} \leq[/tex]β[tex]\leq \frac{2\sqrt{7} }{3}[/tex]
1 Réponse
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1. Réponse taalbabachir
Réponse :
soit f(x) = x⁴ - 4 x - 1
a) étudier les limites de f aux infinis
lim f(x) = lim (x⁴ - 4 x - 1) = + ∞ - ∞ forme indéterminée
x→ + ∞ x→ + ∞
Lorsqu'on est devant une indétermination ∞ - ∞; on procède à la factorisation du plus haut degré
x⁴ - 4 x - 1 = x⁴(1 - 4/x³ - 1/x⁴)
lim(x⁴ - 4 x - 1) = lim x⁴( 1 - 4/x³ - 1/x⁴) = + ∞
x→+∞ x→ + ∞
lim f(x) = lim (x⁴ - 4 x - 1) = + ∞
x → - ∞
b) étudier les variations de f et dresser le tableau de variation complet
cherchons la dérivée de la fonction f ⇒ f '(x) = 4 x³ - 4
f '(x) = 0 ⇒ 4(x³ - 1) = 0 ⇒ x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) = 0 ⇒ x - 1 = 0 ⇒ x = 1
car x² + x + 1 > 0
signe de f '(x)
x - ∞ 1 + ∞
f '(x) - 0 +
f '(x) < 0 sur l'intervalle ]- ∞ ; 1] ⇒ f est strictement décroissante
f '(x) > 0 sur l'intervalle [1 ; + ∞[ ⇒ f est strictement croissante
tableau de variation de f
x - ∞ 1 + ∞
f(x) + ∞ →→→→→→→→→→ - 1 →→→→→→→→→→→ + ∞
décroissante croissante
Explications étape par étape