Bonjour, pouvez vous m'aider svp Soit la fonction g sur D = [tex][ - \frac{1}{4} ; 0 [U] 0 ;[/tex] + ∞[ , par [tex]g(x) = \frac{\sqrt{4x+1} }{x}[/tex] 1. Montre

Réponse : 1) Calcul de la dérivée de g.

Il faut utiliser la formule [tex]\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}[/tex] avec [tex]u=\sqrt{4x+1}  et v=x[/tex].

Pour calculer [tex]u'[/tex], il faut utiliser la formule de dérivation des fonctions composées, soient [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonctions alors [tex](f(g(x))'=g'(x)f'(g(x))[/tex].

Ici [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] et [tex]g(x)=4x+1[/tex], d'où

[tex](\sqrt{4x+1} )'=(f(g(x)))'=4 \times \frac{1}{2\sqrt{4x+1} }=\frac{2}{\sqrt{4x+1} }[/tex]

Il faut maintenant calculer la dérivée de [tex]v=x[/tex] et utiliser la formule de dérivation d'un quotient de deux fonctions.

2) [tex]g'(x)[/tex] est du signe de [tex]-(2x+1)=-2x-1[/tex] car [tex]x^{2}>0[/tex] sur [tex]D[/tex] et [tex]\sqrt{4x+1} > 0[/tex] sur [tex]D[/tex].

Puis le signe de [tex]g'(x)[/tex] donne les variations de [tex]g[/tex].

Explications étape par étape