Bonsoir. S il vous plait c est pour demain Les maths

Réponse :1) On fait la différence [tex](a+b)^2-(2\sqrt{ab} )^2=(a-b)^2>0[/tex], car un carré est toujours positif.

D'où [tex](a+b)^2-(2\sqrt{ab} )^2>0[/tex] et donc [tex](a+b)^2>(2\sqrt{ab} )^2[/tex].

[tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] étant deux réels strictement positifs, donc [tex]a+b>0[/tex], et [tex]2\sqrt{ab} >0[/tex], car une racine carrée est toujours positive.

Donc comme [tex]a+b>0[/tex] et [tex]2\sqrt{ab}[/tex], alors [tex](a+b)^2>(2\sqrt{ab} )^2[/tex] implique [tex]a+b>2\sqrt{ab}[/tex], car la fonction carrée est croissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].

2) Pour montrer que [tex]\frac{1}{a+b} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b}[/tex], il faut calculer la différence [tex]\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a} -\frac{1}{b}[/tex].

En mettant au même dénominateur et en simplifiant, on trouve:

[tex]\frac{1}{a+b} -\frac{1}{a} -\frac{1}{b} =\frac{-b}{a(a+b)}[/tex].

[tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] étant deux réels strictement positifs, alors [tex]a+b>0[/tex], donc le dénominateur [tex]a(a+b)>0[/tex].

[tex]b>0[/tex], donc [tex]-b<0[/tex], donc le numérateur est négatif.

Donc [tex]\frac{1}{a+b} -\frac{1}{a} -\frac{1}{b} <0[/tex] et donc [tex]\frac{1}{a+b} < \frac{1}{a} +\frac{1}{b}[/tex].

Explications étape par étape