Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour mon DM de maths. On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm. Placer un point M sur le segment [DC]. On p
Question
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm. Placer un point
M sur le segment [DC]. On pose DM = x.
Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs possibles de x pour lesquelles le triangle AMB est rectangle en M .
1. A quel intervalle appartient x ?
2. A quelle condition sur les longueurs, le triangle AMB est-il rectangle en M ?
3. Dans le triangle ADM , exprimer AM² en fonction de x. Puis, dans le triangle BMC exprimer BM2 en fonction de x.
4. Traduire alors par une équation la condition vue dans la question 2. et montrer que cette équation peut s'écrire 2x2 − 10x + 8 = 0.
5. Développer P(x) = 2(x − 1)(x − 4).
6. En déduire une nouvelle ériture de l'équation vue à la question 4.
7. Résoudre cette équation.
8. Vérifier la conjecture.
Merci de votre aide.
1 Réponse
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1. Réponse isapaul
Bonsoir,
(Voir figure en pièce jointe)
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm. Placer un point
M sur le segment [DC]. On pose DM = x.
donc MC = 5 - x
1) x appartient à [0 ; 5 ] puisque m est sur le segment DC
2) D'après le théorème de Pythagore, AMB est rectangle en M si :
AB² = AM² + MB² qui revient à
AM² + MB² - AB² = 0
On note aussi que
dans le triangle ADM on a : AM² = AD² + DM² (théorème de Pythagore)
dans le triangle BMC on a : MB² = BC² + MC²
alors
AM² + MB² - AB² = 0 peut s'écrire
(AD² + DM²) + (BC² + MC²) - AB² = 0 en développant
2² + x² + 2² + (5 - x)² - 5² = 0
4 + x² + 4 + 25 - 10x + x² - 25 = 0
2x² - 10x + 8 = 0 ce qu'il fallait démontrer
5) P(x) = 2(x - 1)(x - 4) = 2( x² - 4x - x + 4) = 2x² - 10x + 8
6) on peut écrire que
P(x) = 2(x - 1)(x - 4) = 0
7) Le produit de facteurs est nul si un facteur est nul alors
soit x - 1 = pour x = 1
soit x - 4 = 0 pour x = 4
Bonne soirée
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