Bonjour serait-il possible que vous m’aidiez pour mon dm de math je ne cherche pas a avoir les réponses mais de comprendre merci d’avance.

Réponse :

1) étude d'un cas particulier

AE = 2 cm

b) calculer les longueurs des côtés de EFGH. Que peut-on en déduire

selon le théorème de Pythagore

EH² = AH²+ AE² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 ⇒ EH = √20 = 2√5

EF² = EB²+BF² = 8² + 2² = 64 + 4 = 68 ⇒ EF = √68 = 2√17

EF = HG  et EH = FG ⇒ EFGH est un parallélogramme

c) calculer l'aire des triangles AEH, EBF, FGC, et HDG. En déduire l'aire du quadrilatère EFGH

AEH = FGC ⇒ A1 = 1/2(2 * 4) = 4 cm²

EBF = HDG ⇒ A2 = 1/2 (8 * 2) = 8 cm²

l'aire de EFGH est A3 = A - (2*A1 + 2*A2)

                                    = 10 * 6 - (8 + 16)

                                    = 60 - 24 = 36 cm²

2) cas général

AE = x

a) expliquer pourquoi EB = 10 - x et FC = 6 - x

AB = AE + EB ⇒ EB = AB - AE = 10 - x

BC = BF + FC ⇒ FC = BC - BF = 6 - x  puisque AE = BF

b) justifier que les triangles AEH et FGC sont égaux (superposables)

EH = FG ; AE = GC ; AH = FC

les deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur alors ces deux triangles sont égaux

⇒ donc les triangles AEH et FGC sont égaux (superposables)

puisque EF = HG et EH = FG ⇒ EFGH est un parallélogramme

c) exprimer en fonction de x les aires des triangles  AEH; EBF; FGC et HDG

AEH = FGC  : A1 = 1/2( (6-x)*x) = 3 x - x²/2

EBF = HDG : A2 = 1/2((8- x)*x) = 4 x - x²/2

En déduire l'aire l'aire du parallélogramme EFGH en fonction de x

A3 = 60 - (2 *(3 x - x²/2) + 2*(4 x - x²/2))

     = 60 - (6 x - x² + 8 x - x²)

     = 60 - 14 x + 2 x²

     d) on appelle f la fonction qui a x = AE associe l'aire de EFGH et on admet que f(x) = 2 x² - 16 x + 60

justifier que Df = [0 ; 6]

pour x = 0 ⇒ f(x) = 60 on retrouve l'aire de ABCD

pour x = 6 ⇒ f(x) = 2*6² - 16*6 + 60

                           = 72 - 96 + 60 = 36

si x ∈[0 ; 6] alors le tableau de variation est le suivant:  

la forme canonique de f est : 2(x -4)²+ 28

Tableau de variation

x     0                       4                   6

f(x)  60→→→→→→→→→28 →→→→→→�� 36

            décroissante   croissante

l'aire du parallélogramme admet un minimum et l'aire minimale est 28 cm²

et elle atteinte pour la position  du point E en x = 4  

Explications étape par étape