Salutation, voici mon problème : En ajoutant 29 a un nombre entier on trouve un carré. En retranchant 60 à ce nombre entier on trouve encore un carré. Quel est

Réponse :

1996

Explications étape par étape

x le nombre a trouver

Si on ajoute 29, on a un carré

x + 29 = y² donc x = y² -29

si on enlève 60 on a un carré

x - 60 = z² donc x = z² + 60

Donc  y² - 29 = z² + 60     →      y² - z² = 60 +29 = 89

on reconnait une identité remarquable a² - b² = (a+b)(a-b)

(y + z)*(y - z) = 89

   y - z = 1 et  y + z = 89

y = 1 + z  donc 1 + z + z = 89   → 2z = 88  soit  z = 44   et  y = 45

x + 29 = y²        x + 29  = 45²  soit 2025   donc x = 1996

x - 60 = z² →   1996 - 60 = 1936 soit  z = √(1936) = 44

Réponse :

Bonsoir

n = 1996

Explications étape par étape

En ajoutant 29 a un nombre entier on trouve un carré. En retranchant 60 à ce nombre entier on trouve encore un carré.

Quel est ce nombre ??

n + 29 = m^2

n - 60 = p^2

n = m^2 - 29 et

n = p^2 + 60

donc :

m^2 - 29 = p^2 + 60

m^2 - p^2 = 60 + 29

m^2 - p^2 = 89

(m - p)(m + p) = 89

m - p = 1 et m + p = 89

1 x 89 = 89

m = 1 + p et (1 + p) + p = 89

m = 1 + p et 2p = 89 - 1

m = 1 + p et p = 88/2

m = 1 + p et p = 44

m = 1 + 44 = 45 et p = 44

(45 - 44)(45 + 44) = 1 x 89 = 89

n + 29 = 45^2

n = 2025 - 29 = 1996

On vérifie :

1996 - 60 = 1936 = 44^2