Soit f(x)=x²+2x+100 le coût total de production, en euros, pour des quantités x, avec x appartenant [0;15]. Le coût moyen en fonction de x, pour x appartenant ]

Bonsoir,

1) Coût marginal : h(x) = f '(x) = (x² + 2x + 100)'
                      = (x²)' + (2x)' + 100'  
                      = 2x + 2
 2) [tex]g(x)=\dfrac{x^2+2x+100}{x}\\\\g(x)==\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}+\dfrac{100}{x}\\\\g(x)=x+2+\dfrac{100}{x}\\\\g'(x)=x'+2'+(\dfrac{100}{x})'\\\\g(x)=1+0-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=1-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=\dfrac{x^2-100}{x^2}[/tex]

c) Etude du signe de g'(x) et variations de g.

Tableau de signes de g'(x)

racines : Numérateur : x²-100=0 <==> (x-10)(x+10)=0
                                                   <==> x-10 = 0  ou  x+10 = 0
                                                   <==> x = 10  ou  x = -10
Dénominateur : x = 0

[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|}x&-\infty&&-10&&0&&10&&+\infty \\ x^2-100&&+&0&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\g'(x)&&+&0&-&|&-&0&+&\\g(x)&&\nearrow&-18&\nearrow&|&\searrow&22&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

Or x ∈ [0 ; 15]

Par conséquent 

[tex]\begin{array}{|c|cccccc|}x&0&&10&&15&\\ x^2-100&-&-&0&+&+&\\x^2&0&+&+&+&+&\\g'(x)&|&-&0&+&+&\\g(x)&|&\searrow&22&\nearrow&\approx23,6\\ \end{array}[/tex]

d) Le coût moyen est minimal si x= 10.
Le minimum est égal à 22.

Or le coût marginal est défini par  h(x) = 2x + 2  ==> h(10) = 2*10 + 2 = 22.

Donc g(10) = h(10) = 22.

Par conséquent,  lorsque le coût moyen est minimum, il est égal au coût marginal