A.Calcul la hauteur puis l’aire d’un triangle équilatéral de côté 5cm. B.On note x le côté d’un triangle équilatéral (en cm). Exprime sa hauteur en fonction de

Réponse :

Explications étape par étape

Triangle équilatéral : les 3 côtés AB, BC ET CA font la même longueur

On prend le point M au milieu de AB

Dans ce cas, AM = MB = AB/2

A) SI AB = 5cm, alors AC = 5cm et AM = 2,5cn

Le triangle AMC est rectangle en M car la figure est symétrique (symétrie d'axe CM

D'après le théorème de Pythagore, AM²+MC²=AC²

donc MC²=AC²-AM² = 5² - 2,5² = 25-6,25 = 18,75

Ainsi, MC, la hauteur du triangle, est égale à racine(18,75) = 4,33

L'aire du triangle ABC est : base x hauteur / 2 = 5 x 4,33 /2

Aire = 10,82cm²

B) Si le côté a pour longueur x, le même calcul nous donne :

(Hauteur)² = MC² = (Côté)² - (Demi-côté)² = x² -(x/2)²

(Hauteur)² = (2 Demi-côtés)² - (Demi-côté)² = (2x/2)²-(x/2)²

(Hauteur)² = 2² x (Demi-côtés)² - (Demi-côté)² = 4(x/2)² -(x/2)²

H² = 3 (x/2)²

H=x racine(3)/2

C)

[tex]AB = x\\MC=h=x\frac{\sqrt 3}{2}\\ \text{Aire }=A(x)=\frac{x\times h}{2} = x^2\frac{\sqrt 3}{4}\\[/tex]

A(5)=10,82cm²

A(3)=3,90cm²