Bonsoir pouvez vous m'aidez à faire l exercice 65 Merci

Réponse :

Explications étape par étape

1)

[tex]f(x)=(1-x^2)e^{-x} = e^{-x}-x^2e^{-x}\\\lim_{x \to +\infty} e^{-x} =0\\[/tex]

Soit tu connais [tex]\lim_{x \to -\infty} x^ne^x =0[/tex] et c'est fini, soit on va écrire :

[tex]x^2e^{-x}=(2\frac{x}{2}e^{\frac{-x}{2}})^2\\ \text{et en posant }X=\frac{x}{2} \\x^2e^{-x}=4(Xe^{-X})\\\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x}=\lim_{X \to +\infty}4(Xe^{-X})=0\\[/tex]

En conclusion :

[tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty} (1-x^2)e^{-x} =0\\[/tex]

2a)

f est de la forme uv donc f'=u'v+uv'

avec

[tex]u(x)=1-x^2\quad u'(x)=-2x\\v(x)=e^{-x}\quad v'=-e^{-x}\\f'(x)=-2x e^{-x}-e^{-x}(1-x^2\\\mathbf{f'(x)=e^{-x}(x^2-2x-1)}\\[/tex]

2b)

Après calcul du déterminant [tex]\Delta= b^2-4ac=8=(2\sqrt 2)^2[/tex], on sait que [tex]x^2-2x-1[/tex] s'annule  pour [tex]x\in\{1-\sqrt2;1+\sqrt2\}[/tex] et est positif (du signe de a) en dehors des racines

[tex]e^{-x}[/tex] est toujours positif. f'(x) est donc du signe du trinôme x²-2x-1

[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}x&-1&&1-\sqrt2&&1+\sqrt2&&+\infty\\\\f'(x)&&+&0&-&0&+\\\\f(x)&0&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&0\end{array}\right|\\[/tex]

3)

A est de coordonnées (a;f(a))

On a :

a = 0

f(a)=f(0)=[tex]e^0[/tex]=1

f'(a)=f'(0)=[tex]e^{-a}(a^2-2a-1)=-e^0[/tex]=-1

équation de la tangente: y=f'(a)(x-a)+f(a)

y = x + 1

4) voir fichier joint (ATTENTION : Ne tracer qu'à partir de x=-1)