DANS UN DEMI-CERCLE [AC] est un segment de longueur 10 cm et B est le point de [AC] tel que AB= 4 cm. M est un point du demi-cercle de diamètre [AC]. On note x

Ce n'est pas si évident.

Il faut que je t'aide un peu plus :
D'abord es-tu sûr que x représente l'arc AM ou le segment AM.
Je pars de postulat que c'est le segment AM:

Le but est de calculer l'aire du triangle ABM en fonction de x.
Nous connaissons la base AB = 4 .
La hauteur de ce triangle est la même que la hauteur du triangle AMC, c'est le segment [MH] avec H projeté orthogonal de M. sur le segment [AC].
Or M € au cercle de diamètre [AC] donc ACM est rectangle en M.
Donc son aire est X x MC/2, or d'après Phythagore,
AM² + MC² = AC² donc MC² = 10²-x²
MC = racine de (10²-x²)
Donc l'aire de AMC = racine de (10²-x²) * x /2
Mais l'aire de AMC = AC x MH/2 donc MH = 2 Aire AMC / AC
MH = racine de (10²-x²) * x / 10²
Maintenant que tu connais MH qui est la hauteur du triangle AMB, tu peux calculer l'aire de AMB=f(x) = AB x MH/2
f(x) = 4 x racine de (10²-x²) * x /200 = x * rac(100 - x²)/50
Or x est forcément compris entre 0 et 10.

En seconde tu ne connais pas la dérivée, donc il faut étudier les variations en partant de fonctions de référence :
x² racine de x, 1/x
Or x rac(x²-10) est une fonction complexe:
Le mieux est décrire f(x) = rac(x4 - 10x²) /50 je "rentre" le x dans la racine.
Trace la courbe sur ta calculatrice pour t'aider.

On trouve que la fonction est croissante pour x de 0 à rac(50)
et décroissante pour x de racine de 50 à 10.

x 0 rac(50) 10
f(x) croissante décroissante

Mais l'exercice me parait bien compliqué pour un élève de seconde.
N'hésite pas à écrie