ABCD est un carré de 1 . a) Expliquer pourquoi AC = √ 2 b) Donner la mesure de l'angle BÂC Expliquer pourquoi cos 45° = √ 2:2 c) En deduire que sin 45° = √ 2:2

Bonsoir,

a) Par Pythagore dans le triangle rectangle ABC, 

AC² = AB² + BC²
      = 1² + 1²
      = 1 + 1
      = 2

[tex]AC=\sqrt{2}[/tex]

b) La diagonale [AC] du carré ABCD coupe l'angle DÂB en deux angles égaux.
Or  DÂB = 90°
Donc  DÂc = BÂC = (1/2) * 90° = 45°

[tex]cos(\widehat{BAC})=\dfrac{AB}{AC}\\\\cos(45^o)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\cos(45^o)=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\cos(45^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]


c)  [tex]sin(\widehat{BAC})=\dfrac{BC}{AC}\\\\sin(45^o)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\sin(45^o)=\dfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\sin(45^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]tan(45^o)=\dfrac{sin(45^o)}{cos(45^o)}\\\\\\tan(45^o)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\\tan(45^o)=1[/tex]