2 exercices sur les suites numeriques, malheureusement je ne comprends strictement rien, pouvez vous m'aidez svp?

Réponse :

calculer les 3 premiers termes de la suite puis le 8 ème terme de la suite

a) pour tout n ≥ 0   Un+1 = Un + n - 1   et U0 = 2

U1 = U0 + 0 - 1 = 2 - 1 = 1

U2 = U1 + 1 - 1 = U1 = 1

U3 = U2 + 2 - 1 = 1+1 = 2

U4 = U3 + 3 - 1 = 2+2 = 4

U5 = U4 + 4-1 = 4 + 3 = 7

U6 = U5 + 5 - 1 = 7 + 4 = 11

U7 = U6 + 6 - 1 = 11 + 5 = 16

U8 = U7 + 7 - 1 = 16+6 = 22

b) pour tout n ≥ 0   Un+1 = - 2 x Un   et U0 = - 1

U1 = - 2 x U0 = - 2 x (- 1) = 2

U2 = - 2 x U1 = - 2 x 2 = - 4

U3 = - 2 x U2 = - 2 x (- 4) = 8

on sait que Un+1 = - 2 x Un est une suite géométrique de raison q = - 2

et de premier terme U0 = - 1

on peut écrire Un = U0 x qⁿ = - 1 x (- 2)ⁿ

U8 = - 1 x (- 2)⁸ =  - 256

c) pour tout n ≥ 0 :  Un = 3 - 2n  c'est une suite arithmétique de raison r = - 2

et de premier terme U0 = 3

U1 = 3-2 = 1

U2 = 3 - 4 = - 1

U3 = 3 - 6 = - 3

U8 = 3 - 2 x 8 = 3 - 16= - 13

d) pour tout n ≥ 0:  Un = n² - 1

U0 = - 1

U1 = 0

U2 = 3

U3 = 8

U8 = 64 - 1 = 63

e) pour tout n ≥ 0 : Un = 25 x 0.1ⁿ  est une suite géométrique de raison q = 0.1 et de premier terme U0 = 25

U1 = 2.5

U2 = 0.25

U3 = 0.025

U8 = 25 x 0.1⁸ = 0.00000025

f) pour tout n ≥ 0 : Un = 3n + 0.5 est une suite arithmétique de raison r = 3 et de premier terme U0 = 0.5

U1 = 3.5

U2 = 6.5

U3 = 9.5

U8 = 24.5

2) étudier le sens de variation de chacune des suites ci-dessus

a) on remarque que Un augmente lorsque n augmente ⇒ Un est une suite croissante sur N

b)  q = - 2 < 0 et U0 = - 1 < 0 ⇒ les termes changent alternativement  donc la suite n'est ni croissante ni décroissante

c) la raison r de la suite arithmétique est égale à - 2 < 0 ⇒ (Un) est décroissante sur N

d) Un+1 - Un = (n+1)² - 1 - n²+1 = n²+ 2n + 1 - 1 - n² + 1 = 2 n + 1  or n ≥ 0

⇒ 2 n + 1 > 0 ⇒ Un+1 > Un ⇒ (Un) est strictement croissante sur R

e)  0 < q ≤ 1  ⇒ (Un) est strictement décroissante sur N

f) r = 3 > 0 ⇒ (Un) est strictement croissante  

Explications étape par étape