Bonsoir je vous en supplie je suis bloqué à la premiere question de cet exercice à rendre pour lundi aidez moi svp

Réponse : explications étape par étape

g(x)=e^x -x-2 sur [0;4]

g'(x)=e^x -1  g'(x)=0 si e^x=1 donc si x=0;  si x>0 g'(x)>0

tableau

x          0              alpha              4

g'(x)    0.................+.....................

g(x)   g(0)..........crois..................g(4)

g(0)=-1                                          g(4)=e^4 -6 =48 (environ)

D'après le th des TVI il existe une et une seule valeur "alpha" telle que g(alpha)=0    alpha=1,15    g(1,15)=0,008...

donc signes de g(x)  :g(x)<0 sur [0;alpha[ et g(x)>0 sur ]alpha;4]

Partie B

f(x)=x+(x+3)/e^x  sur [0: 4]

f'(x)=1+[e^x-(e^x) (x+3)]/(e^x)²=[(e^x)²+(e^x)(1-x-3)]/(e^x)²

f'(x)=(e^x)(e^x -x-2)/(e^x)²=(e^x -x-2)/e^x=g(x)/e^x

Comme e^x est tjrs>0 f'(x) a le même signe que g(x)

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x     0                       alpha                            4

f'(x)  .........-..................0................+...............

f(x)  f(0).....décr.........f(alpha).....croi............f(4)

calculs f(0)=3 ;  f(1,15)=2,46 ; f(4)=4,12