Bonjour, j’ai besoin d’aide merci

Réponse : 1) [tex]f[/tex] est définie si [tex]x^{2}+1 \geq 0[/tex], car la fonction racine carrée est définie sur [tex][0;+\infty[[/tex].

2) Sur [tex][0;+\infty[, x \geq 0[/tex], et par définition, la fonction racine carrée est positive sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc [tex]\sqrt{x^{2}+1}  \geq 0[/tex].

La somme de deux quantités positives est positive, donc [tex]f(x) \geq 0[/tex] sur [tex][0;+\infty[[/tex].

3)a) [tex](x+\sqrt{x^{2}+1} )(-x+\sqrt{x^{2}+1} )=(\sqrt{x^{2}+1} +x)(\sqrt{x^{2}+1} -x)[/tex]

De cette dernière expression, on reconnait l'identité remarquable [tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex], d'où:

[tex](\sqrt{x^{2}+1} +x)(\sqrt{x^{2}+1} -x)=(\sqrt{x^{2}+1} )^{2}-x^{2}=x^{2}+1-x^{2}=1 >0[/tex].

b) Sur [tex]]-\infty;0], -x \geq 0[/tex], donc [tex]-x+\sqrt{x^{2}+1}  \geq 0[/tex], comme somme de deux quantités positives.

Puis comme [tex](x+\sqrt{x^{2}+1} )(-x+\sqrt{x^{2}+1} )>0[/tex], et comme [tex]-x+\sqrt{x^{2}+1} >0[/tex], alors que pour le produit des deux facteurs soit positif, forcément [tex]f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}  \geq 0[/tex] sur [tex]]-\infty;0][/tex].

4)a) [tex]f(a)=a+\sqrt{a^{2}+1} \\f(-a)=(-a)^{2}+\sqrt{(-a)^{2}+1} =a^{2}+\sqrt{a^{2}+1}[/tex].

b) La droite [tex](AB)[/tex] a pour coefficient directeur:

[tex]a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} =\frac{f(-a)-f(a)}{-a-a} =\frac{-a+\sqrt{a^{2}+1} -a-\sqrt{a^{2}+1} } {-2a} =\frac{-2a}{-2a} =1[/tex].

Donc le coefficient directeur de [tex](AB)[/tex] est 1.

La droite [tex](d)[/tex], d'équation [tex]x-y=0[/tex] s'écrit aussi [tex]y=x[/tex], donc son coefficient directeur est donc 1.

Or deux droites qui ont même coefficient directeur sont parallèles, donc la droite [tex](AB)[/tex] est parallèle à [tex](d)[/tex].