Bonjour j'ai besoin d'aide. Je ne sais absolument pas par ou commencer. Comment montrer qu’une fonction est constante sur un intervalle donné. Merci pour vos ré

Réponse :

Explications étape par étape

soit h(x)=arcos(x) alors h'(x)=-1/√(1-x²)

soit t(x)=√(1-x²) alrs t'(x)=-x/√(1-x²)

soit f(x)=arcos(√(1-x²)) alors f'(x)=(-x/√(1-x²)).-1/√(1-(1-x²))=x/(|x|.√(1-x²))

si x∈[0;1] alors x positif donc f'(x)=1/√(1-x²)

soit k(x)=arcsin(x) alors k'(x)=1/√(1-x²)

ainsi l'énoncé donne g(x)=arcos(√(1-x²))-arcsin(x)

donc g'(x)=1/√(1-x²)-1/√(1-x²)=0

donc g est constante sur [0;1]

or g(0)=arcos(1)-arcsin(0)=0

donc g est nulle sur [0;1]

ainsi, pour tout x∈[0;1] : arcos(√(1-x²))-arcsin(x)=0

de même si x∈[-1;0] alors x négatif donc f'(x)=-1/√(1-x²)

donc g'(x)=-1/√(1-x²)-1/√(1-x²)=-2/√(1-x²) <0

donc g est décroissante sur [-1;0] mais g n'est pas constante sur [-1;0] !