Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour mon DM de maths. Merci d'avance à ceux qui prendront le temps pour m'aider ;)

Réponse :

Explications étape par étape

f(x) = x³

1) donner l'ensemble de définition de la fonction f

      Df = R

2) montrer que la fonction f est impaire

la fonction f est impaire si f(- x) = - f(x)

f(x) = x³ ⇒ f(-x) = (- x)³ = - x³ = - f(x) ⇒ f est une fonction impaire

Etude des variations de f

soient  x1 et x2 deux réels tels que x1 < x2

a) montrer que f(x1) - f(x2) = (x1 - x2)(x1² + x1x2 + x2²)

f(x1) - f(x2) = x1³ - x2³  identité remarquable de degré 3 elle est de la forme a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

donc x1³ - x2³  = (x1 - x2)(x1² + x1x2 + x2²)

4) a) on suppose que les réels x1 et x2 sont tous les deux positifs

montrer que x1² + x1x2 + x2² > 0

puisque  x1 > 0 et x2 > 0 ⇒ x1 *x2 > 0 et x1² > 0 et x2² > 0

donc la somme de trois réels positifs  est donc positive

⇒ donc  x1² + x1x2 + x2² > 0

b) en déduire les variations de f sur [0 ; + ∞[

[f(x1) - f(x2)]/(x1 - x2) = x1² + x1x2 + x2² > 0 ⇒ f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞[

5) de même donner le sens de variation sur ]- ∞ ; 0]

soit x1 < 0 et x2 < 0

Nous avons x1² + x1x2 + x2²   ⇒ x1² > 0 ; x2² > 0 et x1x2 > 0

⇒ donc  x1² + x1x2 + x2² > 0

[f(x1) - f(x2)]/(x1 - x2) =  x1² + x1x2 + x2² > 0 ⇒ f est strictement croissante sur l'intervalle ]- ∞ ; 0]

6) dresser le tableau de variation sur R

x       - ∞                                     + ∞

f(x)     - ∞→→→→→→→→→→→→→→→→ + ∞

                 croissante