Bonjour quelqu un pourrait m aider pour mon dm svp?merci.

Réponse :

Explications étape par étape

exercice 3 :

Aire bleue = π x R² x â / 2π = â/2  

      ( avec R = 1 et â en radians )

Aire jaune = ?

■ coordonnées de M (cosâ ; sinâ)

■ MI² = (1-cosâ)² + (sinâ)² = 1 - 2 cosâ + cos²â + sin²â

         = 2 - 2 cosâ = 2(1 - cosâ)

    donc MI = √(2-2cosâ) .

■ Périmètre MIO = 2+√(2-2cosâ)

   demi-Périmètre = 1+0,5√(2-2cosâ)

■ Aire² = (1+0,5√(2-2cosâ))*(0,5√(2-2cosâ))²*(1-0,5√(2-2cosâ))

           = (1-0,25(2-2cosâ))*(0,25(2-2cosâ))

           = 0,25(2-2cosâ)-(1/16)(2-2cosâ)²

           = 0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²

           d' où Aire jaune = √(0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²)

■ on veut Aire jaune = la moitié de l' Aire bleue :

  √(0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²) = â/4

      0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²  = â²/16

       sin²(â/2)      -     (sin²(â/2))²     = â²/16

                          â  ≈ 1,8955 radian --> â ≈ 108,6° .

■ vérif : Aire bleue ≈ 0,948 ; Aire jaune ≈ 0,474 --> vérifié .

■ autre vérif : voici un tableau :

          x -->         0           π/2           1,9          2π/3 radians

Aire bleue          0      π/4=0,8       0,95      π/3=1,05      

Aire jaune          0         0,25        0,473       0,75  

■ conclusion :

la valeur de l' angle cherché est voisine de 1,896 radian !