Pouvez vous m'aidez pour l'exercice 2 s'il vous plaît

Réponse :

Explications étape par étape

1)

Quand x croit, 1+2x croit aussi et on sait (on a vu en cours) que la fonction "racine" est croissante quand elle est définie ( 1+2x est bien positif ou nul quand x appartient à [ -1/2 ; +inf ]

Donc f(x) est croissante

On aurait pu le vérifier comme ceci :

[tex]a > b\\f(a)-f(b) = \sqrt{1+2a} - \sqrt{1+2b}\\[/tex]

en utilisant l'identité remarquable (a+b)(a-b) = a²-b²

[tex]f(a)-f(b) = \sqrt{1+2a} - \sqrt{1+2b}\\= \frac{( \sqrt{1+2a} - \sqrt{1+2b})( \sqrt{1+2a} + \sqrt{1+2b})}{ \sqrt{1+2a} + \sqrt{1+2b}}\\= \frac{(1+2a) - (1+2b)}{ \sqrt{1+2a} + \sqrt{1+2b}}\\= \frac{2(a - b)}{ \sqrt{1+2a} + \sqrt{1+2b}}[/tex]

Donc si a>b, le numérateur et le dénominateur sont positifs.

a>b ==> f(a)>f(b)     La fonction est croissante

Pour g(x) = 1+x, Il est évident qu'elle aussi est croissante.

2)

On va se resservir de la même identité remarquable

[tex]f(x) - g(x) = \sqrt{1+2x}- (1+x)\\=\frac{ ( \sqrt{1+2x}- (1+x)) ( \sqrt{1+2x}+ (1+x)) }{\sqrt{1+2x}+(1+x) } \\=\frac{1+2x-(1+x)^2}{\sqrt{1+2x}+ (1+x)} \\= \frac{1+2x-(1+2x+x^2)}{\sqrt{1+2x}+ (1+x)}\\=  \frac{-x^2}{\sqrt{1+2x}+ (1+x)}[/tex]

3) Le dénominateur est toujours positif quand x appartient au domaine de définition et le numérateur est toujours négatif, sauf pour x=0 pour lequel f(x)=g(x)

on a donc f(x) - g(x) <= 0    La courbe Cf est en dessous de la courbe Cg

4) Donc |f(x)-g(x)| = g(x)-f(x)

[tex]g(x)-f(x) =  \frac{x^2}{\sqrt{1+2x}+ (1+x)} =  \frac{2x^2}{2(\sqrt{1+2x}+ (1+x))}\\= \frac{2x^2}{2\sqrt{1+2x}+ 2(1+x)}\\\\x \geq -\frac 1 2  \Rightarrow 2(1+x) \geq 1  \Rightarrow 2\sqrt{1+2x}+ 2(1+x)\geq 1\\[/tex]

On a donc bien |f(x)-g(x)|  <= 2x²

>5)

si x = 0,001, la différence entre la racine de 1,002 (f(x)) et 1,001 (g(x)) ets donc inférieure à 0,00002. On peut donc prendre avec une très bonne approximation : racine(1,002) = 1,001