Bonjour Proposition (composition des limites) : Si f:I→J et g:J→R sont telles que lim (quand x→a) f(x)=b et lim (quand y→b) g(y)=ℓ, alors lim (x→a) g∘f(x)=ℓ. Sv

Réponse :

Bonjour,

Soit [tex]f : I \rightarrow J[/tex] et [tex]g:J\rightarrow R[/tex] continues.

Soient a∈I, b∈J et c∈R.

Par hypothèse, on sait que :

- [tex]\lim_{x \to a} f(x)=b[/tex] ⇔ ∀ W2 voisinage de b, ∃ W1 un voisinage de a tel que f(W1)⊂W2

- [tex]\lim_{y \to b} g(y)=c[/tex] ⇔∀ V voisinage de c, ∃ V1 un voisinage de b tel que g(V1)⊂V

En définissant W2=V1 ( ce qui est possible car W2 est un voisinage quelconque de b ), on a g(f(W2))⊂g(W1)⊂V

Donc par définition [tex]\lim_{x \to a} g(f(x))=c[/tex]

Explications étape par étape