BONJOURS J’AIMERAIS DE L’AIDE A l´aide de sa célèbre relation (de Chasles), demontrer les egalites suivantes : 1. AB-DC+DA=CB 2.2OA+AC-OC=OA 3.FG-(FA+FB)-(AB-GB

Réponse :

Explications étape par étape

Chasles nous dit que, pour aller d'un point de départ à un point d'arrivée, on peut prendre le chemin qu'on veut. Bien sûr, le chemin de A à B  [tex]\vec{AB}[/tex] est le contraire du chemin de B à A [tex]\vec{BA}[/tex]

Donc [tex]\vec{AB}=-\vec{BA}[/tex]

1) On "retourne les vecteurs négatifs

[tex]\vec{AB}-\vec{DC}+\vec{DA}=\vec{CB}\\\vec{AB}+\vec{CD}+\vec{DA}=\vec{CB}\\\\[/tex]

Il n'y a plus qu'à remmettre dans l'ordre pour partir du point C et avoir des petits chemins (chaque vecteur) qui reparte du point d'arrivée du précédent pour aller finalement au point d'arrivée B

[tex]\vec{CD}+\vec{DA}+\vec{AB}=\vec{CB}\\[/tex]

2)

[tex]2\vec{OA}+\vec{AC}-\vec{OC}=\vec{OA}\\\vec{OA}+\vec{OA}+\vec{AC}+\vec{CO}=\vec{OA}\\\vec{OA}+\vec{AC}+\vec{CO}+\vec{OA}=\vec{OA}\\[/tex]

Ici, on est parti de O, puis on y est revenu avant d'aller en A

3)

[tex]\vec{FG}-(\vec{FA}+\vec{FB})-(\vec{AB}-\vec{GB})=\vec{BF}\\\vec{FG}-\vec{FA}-\vec{FB}-(\vec{AB}+\vec{BG})=\vec{BF}\\\vec{FG}-\vec{FA}-\vec{FB}-(\vec{AG})=\vec{BF}\\\vec{FG}+\vec{AF}+\vec{BF}+\vec{GA}=\vec{BF}\\\vec{BF}+\vec{FG}+\vec{GA}+\vec{AF}=\vec{BF}\\[/tex]

4)

[tex]-\vec{AB}+\vec{BC}-\vec{CA}+3(\vec{AB}-\vec{AC})-2\vec{CB}=\vec{BC}\\\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{AC}+3(\vec{AB}+\vec{CA})+2\vec{BC}=\vec{BC}\\\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{AC}+3(\vec{CA}+\vec{AB})+2\vec{BC}=\vec{BC}\\\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{AC}+3(\vec{CB})+2\vec{BC}=\vec{BC}\\\vec{BA}+\vec{BC}+\vec{AC}+\vec{CB}+\vec{CB}+\vec{CB}+\vec{BC}+\vec{BC}=\vec{BC}\\\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CB}+\vec{BC}+\vec{CB}+\vec{BC}+\vec{CB}+\vec{BC}=\vec{BC}\\[/tex]