Bonjour pouvez-vous m’aider merci

Réponse :

Explications étape par étape

1)

Pour tout x, [tex](x^2+1)>0[/tex] donc [tex]\sqrt{x^2+1}[/tex] est bien défini sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. Ainsi f est définie sur [tex]\mathbb{R}

2)

Sur [tex][0,+\infty[[/tex], [tex]x>0\text{ et }\sqrt{x^2+1}>0\Rightarrow f(x)=x+\sqrt{x^2+1}>0\\[/tex]

3a)

[tex](x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})= (\sqrt{x^2+1})^2-x^2=x^2+1-x^2=1\\[/tex]

(on a utilisé l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) )

[tex](x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})>0\\[/tex]

3b)

[tex]\text{Pour}\ x\in]-\infty; 0]\\(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=f(x)(|x|+\sqrt{|x|^2+1} >0\\\Rightarrow f(x)f(|x|)>0[/tex]

Et comme nous savons que [tex]f(|x|)[/tex] est positif car |x| est positif, on en déduit que f(x) est positif quand x est négatif

4a)

[tex]f(a)=a+\sqrt{a^2+1}\\f(-a)=-a+\sqrt{a^2+1}\\[/tex]

un vecteur directeur de la droite AB est donc :

[tex](x_b-x_a ; y_b-y_a)=((-a)-a;(-a+\sqrt{a^2+1})-(a+\sqrt{a^2+1}))\\=(-2a;-2a)\\[/tex]

Ce vecteur est bien colinéaire à un vecteur directeur de la droite x-y=0 : (1;1)

Rappel : ax+by+x=0 ==> vecteur directeur (-b ; a)