bonjour , pouvez vous m’aidez pour cet exercice , merci d’avance :)

Réponse :

soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² - 6 x + 1  est strictement croissante sur [3;+∞[ et strictement décroissante sur }- ∞ ; 3]

soit deux réels a et b tels que a < b

1) montrer que f(b) - f(a) = (b-a)(a+b - 6)

f(b) - f(a) = b² - 6 b + 1 - (a² - 6 a + 1)

             = b² - 6 b + 1 - a² + 6 a - 1

             = b² - a² - 6 b + 6 a

             = b² - a² - 6(b - a)

             = (b-a)(b+a) - 6(b-a)

             = (b-a)(b+a - 6)

⇒ f(b) - f(a) = (b-a)(a+b - 6)

2)  déterminer alors le signe de f(b) - f(a) en fonction des valeurs de a et b

f(b)-f(a) = (b-a)(a+b - 6) ;  sachant que a < b ⇒ b > a  donc b-a > 0

a+b - 6

lorsque a ≥ 3 et b ≥ 3  ⇔ a+b ≥ 6 ⇒ a+b-6 ≥ 0

⇒ donc f(b)-f(a) > 0

lorsque a ≤ 3 et b ≤ 3 ⇔ a+b≤6 ⇒ a+b-6≤ 0

puisque b - a >0 et a+b-6 ≤0 ⇒ f(b) - f(a) < 0

3) en déduire les variations de f

lorsque f(b) - f(a) > 0 ⇒ f est strictement croissante sur [3 ; + ∞[

lorsque f(b) - f(a) < 0 ⇒ f est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 3]

Explications étape par étape