bonjour , si quelqu'un pourrait m'aider svp merci

Réponse :

Explications étape par étape

■ f(x) = (exp(x) - 1) / (x*exp(x) + 1)

■ 1°) Limites à l' infini :

Lim f(x) = Lim exp(x) / ( x*exp(x) ) = Lim 1/x = 0+ pour x tendant vers +∞ .  

Lim f(x) = Lim (-1) / 1 = -1 pour x tendant vers -∞ .      

remarque :

la courbe approchera l' axe des abscisses par dessus du côté de (+∞) ;

et admettra l' asymptote horizontale d' équation (y = -1) pour x --> -∞ .

■ dérivée f ' (x) = ?

 = (x*exp(x) + 1) * exp(x) - (exp(x) - 1)*( exp(x) + x*exp(x) ) / (x*exp(x) + 1)²

= x*exp²(x) + exp(x) - exp²(x) - x*exp²(x) + exp(x) + x*exp(x) / ( ... )²

= exp(x) * (2 - exp(x)  + x) / (x*exp(x) + 1)² .

Le signe de cette dérivée dépend du signe de x+2 - exp(x)

 car le reste de l' expression est positif .

■ 2b) Lim à l'infini de g(x) = x+2 - exp(x) :

         Lim g(x) = Lim x - esp(x)

        cette Limite vaut -∞ .

■ 2c) g ' (x) = 1 - exp(x) . Cette dérivée est positive pour exp(x) < 1 ;

                                                                          donc pour x négatif .

  tableau :

       x              -∞      -1,8414          0       1,1462         +∞

   g ' (x)                         +               0            -

    g(x)            -∞           0                1           0            +∞

■ 2d) comme g part de -∞ , est croissante jusqu'à 1 ,

           puis décroissante jusqu' à -∞ , on comprend que la courbe

            représentative de la fonction g coupera à deux reprises

             l' axe des abscisses . Les 2 valeurs cherchées sont α et β

              telles que : -1,85 < α < -1,84   et   1,14 < β < 1,15 .

■ 2e) g(x) est positive pour α < x < β . ( négative pour x < α OU x > β ) .

■ 2f) tableau :

        x           -∞         α ≈ -1,84     -1      0     ��  β ≈ 1,15      +2    +∞

     f ' (x)                -       0              +      1     +     0              -  

       f(x)          -1         -1,19            -1      0         0,466       0,4   0+

■ 3°) f(α) ≈ - 1,1885 ; et 1/(1+α) ≈ -1,1885 aussi !

        comme -1,85 < α < -1,84 ; on a -0,85 < 1+α < -0,84

         donc -1/0,84 < 1/(1+α) < -1/0,85

          d' où -1,19 < f(α) < -1,18 .

■ 4°) équation de la Tangente en T(0 ; 0) :   y = x .

■ 5a) f(x) - x = ?

         = exp(x) - 1 - x²*exp(x) - x / (x*exp(x) + 1)

         = exp(x) * (1-x²) - (x+1) / (x*exp(x) + 1)

          = (x+1) * ( exp(x) * (1-x) - 1 )  / (x*exp(x) + 1)

          = (x+1) * U(x) / (x*exp(x) + 1) .

             avec U(x) = exp(x) - x*exp(x) - 1 .

■ 5b) étude de U(x) :

         U ' (x) = exp(x) - exp(x) - x*exp(x) = - x*exp(x) positive pour x < 0 .

         tableau :

              x             -∞             -1             0            +∞

           (x+1)                    -       0      +           +

           U(x)                    -                -     0     -      

     (x*exp(x) + 1)                toujours positif  

     signe f(x) - x            +       0       -     0     -

La courbe est SOUS la Tangente pour -1 < x < 0 ; puis pour x > 0 .

( il y a le point de contact Courbe-Tangente en (0 ; 0) ) .

la Casio 25 confirme que c' est juste !