Bonjour, je suis en terminale s et je bloque sur cet exercice de math, merci pour votre aide ! Pour la question 1, j'ai mis que la courbe était décroissante sur

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = (1/2a)(exp(ax)+exp(-ax))+b

     avec -5 < x < 5   et   0,2 < a < 1

■ dérivée f ' (x) = (1/2a)(a exp(ax)-a exp(-ax))

                          = 0,5(exp(ax)-exp(-ax)) .

  cette dérivée est positive pour exp(ax) > exp(-ax)

                                                              ax  >  -ax

                                                                x  >  -x

                                     pour x > 0 .

■ f(0) = (1/2a)*2 + b = 1/a + b = -3 --> b = -1/a - 3

                                                     --> ab = -1 - 3a ;

   f(5) = (1/2a)(exp(5a)+exp(-5a)) + b = 0

             --> exp(5a)+exp(-5a) + 2ab = 0

             --> exp(5a)+exp(-5a) - 2 - 6a = 0 .

■ g(x) = exp(5x)+exp(-5x) - 2 - 6x donne :

  g ' (x) = 5 exp(5x) - 5 exp(-5x) - 6

   cette dérivée est positive ( avec X = exp(5x) )

       pour 5 X - 5/X - 6 > 0

                5X² - 6X - 5 > 0

                                 X  > 1,76619038

                        exp(5x) > 1,76619038

                               5x  > 0,5688249

                                x  > 0,11376498

     on retiendra que la fonction g

        est donc croissante pour x > 0,2 .

■ recherche de la valeur de a :

   intersection de la courbe

           d' équation Y1 = exp(5a)+exp(-5a)

           et de la droite d' équation Y2 = 6a + 2 .

    a ≈ 0,217652928

                --> a ≈ 0,218 ( arrondi au millième ! ) .

3°) Longueur du câble ?