Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exercice merci

Réponse :

Explications étape par étape

[tex]\frac 12 (\ln a + \ln b) = \frac 12 \ln(ab) = \ln(\sqrt{ab})\\[/tex]

comme la fonction ln est monotone croissante [tex]a>b \Leftrightarrow \ln a > \ln b[/tex] Il en est de même pour la fonction racine

On peut donc 1 : enlever les "ln", 2 : élever au carré, ce qui nous donne, à gauche 1/4(a²+2ab+b²) et à droite  ab

L'inégalité est équivalente a

1/4(a²+2ab+b²)-ab >= 0          c'est-à-dire 1/4(a²-2ab+b²) >=0

On reconnait à gauche le carré de 1/2(a-b) qui est donc toujours positif ou nul. L'inégalité est bien vérifiée