Une entreprise fabrique chaque jour x objets avec x ∈ [0.60]. Le coût total de production de ces objets, exprimé en euros, est donné par f(x)=x²-20x+ 200. 1.Com

Bonjour,

1. f(15) = 15²-20*15+200

= 125

2.

x²-20x+200=500

x²-20x-300=0

[...]

delta=1600

donc deux solutions qui sont -10 et 30

cependant tu gardes la valeur positive qui est 30

Donc 30 objets fabriqués.

3. tableau de variation ... tu calcules alpha et beta

alpha=-b/2a

=20/2

=10

et beta= f(alpha)

=10²-20*10+200

=100

a est supérieur a 0 donc c'est décroissant puis croissant

Réponse :

1) combien coûte la fabrication de 15 objets

f(15) = 15² - 20*15 + 200 = 225 - 300 + 200 = 125 €

2) calculer le nombre d'objet fabriqués correspondant à un coût de 500 €

on écrit : f(x) = 500 = x² - 20 x + 200 ⇔ x² - 20 x - 300 = 0

Δ = 400 + 1200 = 1600 ⇒√1600 = 40

x1 = 20 +40)/2 = 60/2 = 30

x2 = 20 - 40)/2 = - 20/2 = - 10 solution non retenue car - 10 ∉[0 ; 60]

3) étudier les variations de C sur l'intervalle [0 ; 60]

f(x) = x² - 20 x + 200 ; on cherche la fonction canonique

qui s'écrit : f(x) = a(x - α)²+β

α = - b/2a = 20/2 = 10

β = f(α) = f(10) = 10² - 20*10 + 200 = 100 - 200 + 200 = 100

⇒ f(x) = 1(x - 10)²+ 100

x        0                            10                       60

f(x)     200 →→→→→→→→→  100 →→→→→→→→→ 2200

                  décroissante        croissante

on peut utiliser la fonction dérivée pour étudier les variations

f '(x) = 2 x - 20 = 2 (x - 10)  ⇒ f '(x) = 2(x - 10) = 0 ⇒ x = 10

⇒ f(10) = 100

Signe de f '(x)

x        0                           10                        60

f '(x)                 -                0            +

f '(x) < 0 sur l'intervalle [0 ; 10] ⇒ f est strictement décroissante sur [0 ; 10]

f '(x) > 0 sur l'intervalle [10 ; 60] ⇒ f est strictement croissante sur [10 ; 60]

La courbe C de f présente un minimum = 100 en x = 10      

Explications étape par étape